№ 1
На счету Машиного мобильного телефона было 66 рублей, а после разговора с Костей осталось 21 рубль. Сколько минут длился разговор с Костей, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек.
Ваш ответ:
№ 5
Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 75 докладов — в первый день 27 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Ваш ответ:
№ 6
Найдите корень уравнения
\(
3^{-4+x}=3.
\)
Ваш ответ:
№ 9
Найдите расстояние между вершинами \(D\) и \(A_1\) прямоугольного параллелепипеда, для которого \(AB=3\), \(AD=12\), \(AA_1=9\).
Ваш ответ:
№ 10
Найдите значение выражения:
\(
\sqrt{810^2 - 648^2}.
\)
Ваш ответ:
№ 11
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l = \sqrt {\frac{Rh}{500}} \), где \(R = 6400\) км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 12 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 20 километров?
Ваш ответ:
№ 13
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 80 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 2 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Ваш ответ:
№ 14
Найдите наибольшее значение функции \(y = 11\ln (x+6)-11x -3\) на отрезке \([-5,5;0]\).
Ваш ответ:
№ 15
а) Решите уравнение:
\(1+\log_{2}{(9x^2+5)}=\log_{\sqrt{2}}{\sqrt{8x^4+14}}\).
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку \([-1;\frac{8}{9}].\)
№ 16
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно \(\sqrt 5 \) , а высота равна \(1\), вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
№ 17
\(\begin{equation*} \begin{cases} 4^{x} - 29 \cdot 2^{x} + 168 \le 0, \\ \frac{x^4-5x^3+3x-25}{x^2-5x} \ge x^2-\frac{1}{x-4}+\frac{5}{x}. \end{cases} \end{equation*}\)
№ 18
Окружность радиуса \(6\) вписана в угол, равный \(60{}^\circ \) . Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках \(M\) и \(N\) . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно \(4\). Найдите \(MN\).
№ 19
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
№ 20
Найти все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(ax+\sqrt{3-2x-x^2}=4a+2\) имеет единственный корень.
№ 21
Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состо- ящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?