№ 1
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 65 рублей за штуку. У Вани есть 400 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?
Ваш ответ:
№ 5
На семинар приехали 6 ученых из Германии, 6 из Норвегии и 3 из Бельгии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад ученого из Германии.
Ваш ответ:
№ 6
Найдите корень уравнения \(\cos\frac{\pi(8x+3)}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\) В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Ваш ответ:
№ 10
Найдите значение выражения: \(\left(2\frac{3}{8}+2\frac{2}{7}\right)\cdot8,96.\)
Ваш ответ:
№ 11
Мяч бросили под углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле \(t = \frac{{2v_0 \sin \alpha }}{g}\). При каком наименьшем значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полeта будет не меньше 2,2 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0= 22\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g=10\) м/с\({}^2\).
Ваш ответ:
№ 12
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 27. Найдите объем шара.
Ваш ответ:
№ 13
Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие три часа — со скоростью 110 км/ч, а затем один час — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ваш ответ:
№ 14
Найдите наименьшее значение функции \(y~=~4x-4\ln (x+4)+3\) на отрезке \([-3,5;0]\).
Ваш ответ:
№ 15
а) Решите уравнение:
\({9}^{sin{x}}+{9}^{-sin{x}}=\frac{10}{3}\).
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку \([-\frac{7\pi}{2};-2\pi].\)
№ 16
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно \(\sqrt 5 \) , а высота равна \(1\), вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
№ 17
\(\begin{equation*} \begin{cases} {2}^{x}+17 \cdot {2}^{3-x} \le 25, \\ \frac{x^2-3x-5}{x-4} + \frac{3x^2-15x+2}{x-5} \le 4x+1. \end{cases} \end{equation*}\)
№ 18
В окружности проведены хорды \(PQ\) и \(CD\), причем \(PQ = PD = CD = 12\) , \(CQ = 4\). Найдите \(CP\).
№ 19
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
№ 20
Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5| \) имеет единственное решение.
№ 21
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет записан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор ? 8 , ? 5 , ? 4 , ? 3 , ? 1 , 1, 4. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?