№ 1
В летнем лагере на каждого участника полагается 70 г сахара в день. В лагере 172 человека. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на 7 дней?
Ваш ответ:
№ 5
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 5 спортсменов из Швеции, 3 спортсмена из Норвегии и 4 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Дании.
Ваш ответ:
№ 6
Найдите корень уравнения \left(\frac{1}{2}\right)^{-5+x}=4.
Ваш ответ:
№ 7
В тупоугольном треугольнике ABC AB=BC, AB=10, высота CH равна \sqrt{51}. Найдите косинус угла ABC.
Ваш ответ:
№ 9
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известно, что AC_1=13, C_1D_1=3, B_1C_1=12. Найдите длину ребра AA_1.
Ваш ответ:
№ 10
Найдите значение выражения: 6\cdot11^{\mathop{\mathrm{log}}_{11}7}.
Ваш ответ:
№ 11
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 16 кг и радиуса R = 3 см, и двух боковых с массами M = 3 кг и с радиусами R+h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг\cdot\;\text{см}^2, даeтся формулой I = \frac{{(m + 2M)R^2 }}{2} + M(2Rh + h^2 ). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 180\text{кг}\cdot\;\text{см}^2? Ответ выразите в сантиметрах.
Ваш ответ:
№ 12
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 27. Найдите объем шара.
Ваш ответ:
№ 13
В сосуд, содержащий 5 литров 26-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Ваш ответ:
№ 14
Найдите точку максимума функции y~=~{{(x+6)}^{2}}{{e}^{4-x}}.
Ваш ответ:
№ 15
а) Решите уравнение:
1+\log_{2}{(9x^2+5)}=\log_{\sqrt{2}}{\sqrt{8x^4+14}}.
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку [-1;\frac{8}{9}].
№ 16
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84 . Найдите радиус шара.
№ 17
\begin{equation*} \begin{cases} 1 - \frac{2}{|x|} \le \frac{23}{x^2}, \\ \frac{2-(x-5)^{-1}}{2(x-5)^{-1}-1} \le -0,5. \end{cases} \end{equation*}
№ 18
На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C , взята точка E , удаленная от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE , если BC = 6 , AC = 4.
№ 19
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
№ 20
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение ax+\sqrt{3-2x-x^2}=4a+2 имеет единственный корень.
№ 21
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет записан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор ? 8 , ? 5 , ? 4 , ? 3 , ? 1 , 1, 4. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?