№ 1
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Хризантемы стоят 65 рублей за штуку. У Вани есть 560 рублей. Из какого наибольшего числа хризантем он может купить букет Маше на день рождения?
Ваш ответ:
№ 5
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 7 спортсменов из Македонии, 6 спортсменов из Сербии, 8 спортсменов из Хорватии и 4 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Македонии.
Ваш ответ:
№ 6
Найдите корень уравнения \(\log_{x -3} 49=2\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Ваш ответ:
№ 7
В треугольнике ABC \(AC = BC\), AH — высота, \(\sin BAC = 0.27\). Найдите \(\cos BAH\).
Ваш ответ:
№ 8
Прямая \(y~=~3x+9\) является касательной к графику функции \(y~=~x^3+x^2+2x+8\). Найдите абсциссу точки касания.
Ваш ответ:
№ 10
Найдите значение выражения \(\frac{(b^{\sqrt{2}})^{8\sqrt{2}}}{b^{12}}\) при \(b=3\).
Ваш ответ:
№ 11
Трактор тащит сани с силой \(F=90\) кН, направленной под острым углом \(\alpha\) к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной \(S=140\) м вычисляется по формуле \(A=FS\cos\alpha \). При каком максимальном угле \(\alpha \) (в градусах) совершeнная работа будет не менее 6300 кДж?
Ваш ответ:
№ 12
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8, боковое ребро равно 11. Найдите ее объем.
Ваш ответ:
№ 13
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 108%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Ваш ответ:
№ 14
Найдите точку максимума функции \(y~=~(x+14){{e}^{14-x}}\).
Ваш ответ:
№ 15
а) Решите уравнение:
\({9}^{sin{x}}+{9}^{-sin{x}}=\frac{10}{3}\).
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку \([-\frac{7\pi}{2};-2\pi].\)
№ 16
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно \(\sqrt 5 \) , а высота равна \(1\), вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
№ 17
\(\begin{equation*} \begin{cases} \log_{6-x}{\frac{{(x-6)}^{2}}{x-2}} \ge 2, \\ \frac{x^2-x-14}{x-4} + \frac{x^2-8x+3}{x-8} \le 2x+3. \end{cases} \end{equation*}\)
№ 18
Радиусы окружностей с центрами \(O_{1}\) и \(O_{2}\) равны соответственно \(2\) и \(9\). Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой \(O_{1}O_{2}\),если \(O_{1}O_{2}\)=21.
№ 19
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
№ 20
Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5| \) имеет единственное решение.
№ 21
Даны \(n\) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию \((n \ge 3)\).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение \(n\) , если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения \(n\) , если сумма всех данных чисел равна 123.