№ 1
В университетскую библиотеку привезли новые учебники по современной литературе для 1-3 курсов, по 80 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 6 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?
Ваш ответ:
№ 5
В чемпионате по гимнастике участвуют 60 спортсменок: 9 из Венгрии, 27 из Румынии, остальные — из Болгарии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии.
Ваш ответ:
№ 6
Найдите корень уравнения
\(
x=\frac{-2x+42}{x-1}.
\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из
них.
Ваш ответ:
№ 10
Найдите значение выражения: \(\frac{x^{5}\cdot x^{9}}{x^{9}}\) при \(x=3\).
Ваш ответ:
№ 11
Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: \(P = \sigma ST^4 \), где \(\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8}\) — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь \(S = \frac{1}{{125}} \cdot 10^{20}\) м\({}^2\), а излучаемая ею мощность P не менее \(4,56 \cdot 10^{26}\) Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.
Ваш ответ:
№ 12
Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6.
Ваш ответ:
№ 13
По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 160 метров, второй — длиной 140 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 300 метров. Через 9 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 900 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
Ваш ответ:
№ 14
Найдите наибольшее значение функции \(y~=~9x-9tgx-7\) на отрезке \([0;\frac{\pi }{4}]\).
Ваш ответ:
№ 15
а) Решите уравнение:
\({25}^{x-\frac{3}{2}}-12\cdot {5}^{x-2}+7=0\).
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку \((2;\frac{8}{3}).\)
№ 16
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84 . Найдите радиус шара.
№ 17
\(\begin{equation*} \begin{cases} 1 - \frac{2}{|x|} \le \frac{23}{x^2}, \\ \frac{2-(x-5)^{-1}}{2(x-5)^{-1}-1} \le -0,5. \end{cases} \end{equation*}\)
№ 18
На прямой, содержащей медиану \(AD\) прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) , взята точка \(E\) , удаленная от вершины \(A\) на расстояние, равное \(4\). Найдите площадь треугольника \(BCE\) , если \(BC = 6\) , \(AC = 4\).
№ 19
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
№ 20
Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5| \) имеет единственное решение.
№ 21
Даны \(n\) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию \((n \ge 3)\).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение \(n\) , если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения \(n\) , если сумма всех данных чисел равна 123.