№ 1
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Ромашки стоят 10 рублей за штуку. У Вани есть 60 рублей. Из какого наибольшего числа ромашек он может купить букет Маше на день рождения?
Ваш ответ:
№ 3
Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 770 рублей. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 рубля за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?
Ваш ответ:
№ 4
В треугольнике ABC \(AC~=~BC\), \(AB~=~70\), \(\cos A~=~\frac{35}{37}\). Найдите высоту CH.
Ваш ответ:
№ 5
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Эстонии, 9 спортсменов из Латвии, 4 спортсмена из Литвы и 9 — из Польши. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Польши.
Ваш ответ:
№ 6
Найдите корень уравнения \(\left(\frac{1}{11}\right)^{x+9}=11^x.\)
Ваш ответ:
№ 7
В треугольнике ABC \(AC=BC=5\), \(AB=6 \). Найдите \(\sin A\).
Ваш ответ:
№ 9
Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 10 раз?
Ваш ответ:
№ 10
Найдите значение выражения: \(11\cdot12^{\mathop{\mathrm{log}}_{12}14}.\)
Ваш ответ:
№ 11
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v=5\) м/с под острым углом \(\alpha \) к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u = \frac{m}{{m + M}}v\cos \alpha \) (м/с), где \(m =80\) кг — масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=320\) кг — масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,5 м/с?
Ваш ответ:
№ 12
Длина окружности основания конуса равна 7, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Ваш ответ:
№ 13
Лодка в 5:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч.
Ваш ответ:
№ 14
Найдите точку максимума функции
\(y=19+75x-x^3\).
Ваш ответ:
№ 15
а) Решите уравнение:
\(4\cos^{2}{x}-8\sin{x}+1=0\).
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку \([-3\pi;-\frac{3\pi}{2}].\)
№ 16
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84 . Найдите радиус шара.
№ 17
\(\begin{equation*} \begin{cases} 1 - \frac{2}{|x|} \le \frac{23}{x^2}, \\ \frac{2-(x-5)^{-1}}{2(x-5)^{-1}-1} \le -0,5. \end{cases} \end{equation*}\)
№ 18
Окружность радиуса \(6\) вписана в угол, равный \(60{}^\circ \) . Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках \(M\) и \(N\) . Известно, что расстояние между центрами окружностей равно \(4\). Найдите \(MN\).
№ 19
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
№ 20
Найти все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(ax+\sqrt{3-2x-x^2}=4a+2\) имеет единственный корень.
№ 21
Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состо- ящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?