№ 1
Аня купила проездной билет на месяц и сделала за месяц 43 поездки. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет на месяц стоит 755 рублей, а разовая поездка — 20 рублей?
Ваш ответ:
№ 5
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Великобритании и 6 прыгунов из Колумбии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвертым будет выступать прыгун из Колумбии.
Ваш ответ:
№ 6
Найдите корень уравнения
\(
x=\frac{5x+1}{x+5}.
\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из
них.
Ваш ответ:
№ 7
В треугольнике ABC угол C равен \(90^\circ\), \(AB = 10\), \(\sin A = \frac{2 \sqrt{6}}{5}\). Найдите AC.
Ваш ответ:
№ 10
Найдите значение выражения:
\(
7^{\sqrt{3}+4} \cdot 7^{-2 - \sqrt{3}}.
\)
Ваш ответ:
№ 11
Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением \(a~\text{км}/\text{ч}^2\), вычисляется по формуле \(v = \sqrt {2la}\). Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 километра, приобрести скорость не менее 90 км/ч. Ответ выразите в км/ч\({}^2\).
Ваш ответ:
№ 13
Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 378 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?
Ваш ответ:
№ 14
Найдите наименьшее значение функции \(y~=~4\cos x+\frac{15}{\pi }x+9\) на отрезке \([-\frac{2\pi }{3};0]\).
Ваш ответ:
№ 15
а) Решите уравнение:
\({25}^{x-\frac{3}{2}}-12\cdot {5}^{x-2}+7=0\).
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку \((2;\frac{8}{3}).\)
№ 16
В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания равна \(6\), а боковое ребро \(AA_1 = 1\) . Точка \(F\) принадлежит ребру \(C_1D_1\) и делит его в отношении \(2 : 1\) , считая от вершины \(C_1\) . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки \(A\) , \(C\) и \(F\) .
№ 17
\(\begin{equation*} \begin{cases} 5 \cdot {2}^{2x+2}-21 \cdot {2}^{x-1} + 1 \le 0, \\ \frac{x^2+2x+2}{x^2+2x} + \frac{3x+1}{x-1} \le \frac{4x+1}{x}. \end{cases} \end{equation*}\)
№ 18
В окружности проведены хорды \(PQ\) и \(CD\), причем \(PQ = PD = CD = 12\) , \(CQ = 4\). Найдите \(CP\).
№ 19
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
№ 20
Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5| \) имеет единственное решение.
№ 21
Даны \(n\) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию \((n \ge 3)\).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение \(n\) , если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения \(n\) , если сумма всех данных чисел равна 123.