Как решать задачи № 14 на нахождение наибольшего или наименьшего значения?

Прочитав эту статью, вы научитесь решать задачи 14 (В15 в старой нумерации). Первое, вам нужно убедится, что вы умеете:

1) находить производные школьных функций, а именно пользоваться таблицей производных и несколькими формулами
2) решать уравнения
3) преобразовывать выражения, сравнивать числа

Если вы все это умеете, давайте приступим. Для этих задач есть алгоритм, который всегда дает верный результат. Он основывается на том, что наименьшее/наибольшее значение достигается либо в концах отрезка, либо в критических точках. Алгоритм состоит из трех шагов. Рассмотрим примеры, а затем приведем его полную формулировку:

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции \(y=x+\frac{36}{x}\) на отрезке \([1;9]\)

Решение:
1) Найдем производную данной функции:

\(y' = 1 - \frac{36}{x^2}\)

2) Составим и решим уравнение \(y' = 0\). Его корни дадут нам критические точки:

\(1 - \frac{36}{x^2} = 0\)
\(1 = \frac{36}{x^2}\)
\({x^2} = 36\)
\(x_{1,2} = ±6\)

3) Подставим концы отрезка \(x = 1\) и \(x = 9\) и все критические точки (корни уравнения из пункта 2), которые попали в отрезок, в функцию из условия. У нас это две точки \(x = -6\) и \(x = 6\).Точка \(x = -6\) не принадлежит отрезку из условия, ее подставлять не нужно. Таким образом, нужно подставить в функцию три точки:

\(y(1) = 1 + \frac{36}{1} = 37\)
\(y(6) = 6 + \frac{36}{6} = 12\)
\(y(9) = 9 + \frac{36}{9} = 13\)

Выберем из полученных значений наименьшее - как в условии. Оно и пойдет в ответ.

Ответ: 12

---

Пример 2. Найдите наименьшее значение функции \(y=(x+3)^2e^{-3-x}\) на отрезке \([-5;-1]\).

Решение:
1) Найдем производную данной функции:

\(y' = \underbrace{2(x+3)}_{u'} \underbrace{e^{-3-x}}_{v}+\underbrace{(x+3)^2}_{u} \underbrace{e^{-3-x}(-1)}_{v'} = e^{-3-x}(x+3)[2+(x+3)(-1)] = e^{-3-x}(x+3)(-x-1)\)

2) Составим и решим уравнение \(y' = 0\). Его корни дадут нам критические точки:

\(e^{-3-x}(x+3)(-x-1) = 0\)
\( e^{-3-x} = 0 \) или \( x+3 = 0 \) или \( -x-1 = 0\)
Первое уравнение не имеет решений, т.к. \( e^{t} > 0 \) для любого \(t\). Из второго и третьего получаем два корня:
\( x_1 = -3 \) или \( x_2 = -1 \)

3) Подставим концы отрезка \(x = -5\) и \(x = -1\) и все критические точки (корни уравнения из пункта 2), которые попали в отрезок, в функцию из условия. У нас это две точки \(x = -3\) и \(x = -1\).Обе попали в отрезок, но одна из них совпала с концом. Таким образом, нужно подставить в функцию три точки:

\(y(-5) = (-5+3)^2e^{-3-(-5)} = (-2)^2e^{2} = 4e^2 >0\)
\(y(-3) = (-3+3)^2e^{-3-(-3)} = 0e^{0} = 0\)
\(y(-1) = (-1+3)^2e^{-3-(-1)} = (2)^2e^{-2} = \frac{4}{e^2} > 0\)

Выберем из полученных значений наименьшее - как в условии. Это и будет ответом.

Ответ: \(0\)

---

Пример 3. Найдите наибольшее значение функции \(y~=~\ln {{(x+5)}^{5}}-5x\) на отрезке \([-4,5;0]\).

Решение:
1) Найдем производную данной функции. Перед этим вынесем степень \(5\) из под знак логарифма:

\(y' = \frac{5}{x+5}-5\)

2) Составим и решим уравнение \(y' = 0\). Его корни дадут нам критические точки:

\(\frac{5}{x+5}-5 = 0\)
\(\frac{5}{x+5}=5\)
\(\frac{1}{x+5}=1\)
\(x+5=1\)
\(x = -4 \)

3) Подставим концы отрезка \(x = -4,5\) и \(x = 0\) и все критические точки (корни уравнения из пункта 2), которые попали в отрезок, в функцию из условия. У нас это две точки \(x = -4 \). Она попала в отрезок из условия

\(y(-4,5) = \ln {{(-4,5+5)}^{5}}-5(-4.5) = 5\ln{(0,5)} + 22 < 20\), т.к. \(5 (-2) ln{2} < -2\), т.к. \(2 > e^{1/5}\)
\(y(-4) = \ln {{(-4+5)}^{5}}-5(-4) = \ln {{(1)}^{5}}+20 = 20\)
\(y(0) = \ln {{(5)}^{5}}-5*0 = 5\ln{5} < 5*2 = 10 < 20\)

Выберем из полученных значений наибольшее - как в условии. Оно и пойдет в ответ. Замечание. Обратите внимание, что первое и третье число после преобразований сохранили в себе логарифмическую часть, это верный признак, что они не пойдут в ответ. В таком случае, если все предыдущие вычисления сделаны без ошибок, можно смело писать в ответ второе значение. Иногда сравнение чисел можно заменить на поиск локального максимума на отрезка. Здесь точка \(x = -4\) - локальный максимум функции, проверьте сами. Это означает, что и справа и слева значения функции меньше, чем в точке \(x = -4\).

Ответ: \(20\)

---

Итак, сформулируем теперь общий алгоритм решения таких задач:

1) Найти производную функции
2) Приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Корни, не попавшие в отрезок, отбрасываем.
3) Найти значения функции в концах отрезка и в точках из п.2. и выбрать из них самое большое (маленькое) - это и будет ответ.