№ 1
Шоколадка стоит 20 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 270 рублей в воскресенье?
Ваш ответ:
№ 3
Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 860 рублей. Автомобиль расходует 12 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 18 рублей за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?
Ваш ответ:
№ 5
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Ваш ответ:
№ 6
Найдите корень уравнения
\(
\sqrt{72+3x}=9.
\)
Ваш ответ:
№ 7
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(150^\circ\). Боковая сторона треугольника равна 21. Найдите площадь этого треугольника.
Ваш ответ:
№ 10
Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt{0,6}\cdot \sqrt{1,4}}{\sqrt{0,21}}\).
Ваш ответ:
№ 11
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \(F_{\rm{A}} = \rho gl^3\), где l — длина ребра куба в метрах, \(\rho = 1000 \text{кг}/\text{м}^3\) — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 9,8\) Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 1225 Н? Ответ выразите в метрах.
Ваш ответ:
№ 12
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 60. Найдите объем конуса.
Ваш ответ:
№ 13
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 560 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 56 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Ваш ответ:
№ 14
Найдите точку максимума функции
\(y=x^3 -21x^2+19\).
Ваш ответ:
№ 15
а) Решите уравнение:
\(\cos{2x}=\sin{(\frac{3\pi}{2}-x)}\).
б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку \([\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2}].\)
№ 16
В правильной треугольной пирамиде \(MABC\) с вершиной \(M\) высота равна \(3\), а боковые рёбра равны \(6\). Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон \(AB\) и \(AC\) параллельно прямой \(MA\).
№ 17
\(\begin{equation*} \begin{cases} {2}^{x}+17 \cdot {2}^{3-x} \le 25, \\ \frac{x^2-3x-5}{x-4} + \frac{3x^2-15x+2}{x-5} \le 4x+1. \end{cases} \end{equation*}\)
№ 18
Радиусы окружностей с центрами \(O_{1}\) и \(O_{2}\) равны соответственно \(2\) и \(9\). Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой \(O_{1}O_{2}\),если \(O_{1}O_{2}\)=21.
№ 19
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
№ 20
Найти все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(ax+\sqrt{3-2x-x^2}=4a+2\) имеет единственный корень.
№ 21
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы
его цифр?